Quand la science des données nous rend tristes : l’histoire d’un vol en surréservation

sur les réseaux sociaux à propos d’un passager expulsé d’un avion en raison d’une surréservation. Si vous êtes un voyageur fréquent, vous pourriez rencontrer une situation similaire. Si vous êtes assez malchanceux, cela pourrait même être vous.

Cela peut sembler une erreur, mais je peux vous assurer que ce n’est pas le cas. Nous vivons dans un monde où de telles erreurs opérationnelles, en particulier dans le secteur aérien, ne se produisent que si elles sont intentionnelles.

Il ne s’agit donc pas d’une erreur mais d’un risque pris par la compagnie aérienne pour maximiser ses profits. En termes plus sophistiqués, il s’agit d’un compromis statistiquement prévisible et basé sur la science des données (ou les mathématiques pures). Il s’agissait d’une décision basée sur les probabilités et les mathématiques pour potentiellement gagner quelques millions supplémentaires.

Dans cet article, nous irons au fond des choses et apprendrons de nombreux concepts précieux autour de la probabilité, des distributions et de la valeur attendue (des sujets très importants pour les data scientists, les analystes ou toute personne intéressée par l’analyse).

DS Airlines vend des billets supplémentaires

J’aimerais appeler cette société DS Airlines. Ils vendent 304 sièges pour un vol d’une capacité de 300 sièges. La probabilité qu’un passager se présente à un vol est de 95 %, sur la base des données historiques des vols.

Nous allons essayer de répondre aux questions suivantes :

1. Quelle est la probabilité que ce vol soit surbooké ? Cela se produit si au moins 301 passagers se présentent pour le vol.
2. Quelle est la valeur attendue du nombre de passagers en surréservation ?
3. Que risque la compagnie aérienne en vendant plus de billets que de sièges disponibles ?

Nous commençons par supposer que les passagers sont indépendants les uns des autres. Le choix d’un passager de se présenter au vol n’a aucun impact sur les choix des autres passagers. On peut alors dire que la probabilité qu’un passager se présente est de 0,95 (soit 95 %).

Cette hypothèse n’est pas toujours valable car il peut y avoir des familles ou des groupes voyageant ensemble. Si une personne dans une famille se présente, les autres membres de la famille sont beaucoup plus susceptibles de se présenter que 95 %. Cependant, lorsque nous abordons de tels détails et conditions, les mathématiques deviennent un cauchemar avec des probabilités conditionnelles complexes. En outre, nous ne savons pas toujours qui voyage ensemble (par exemple, les membres d’un groupe peuvent acheter leurs billets séparément).

Avec l’hypothèse de passagers indépendants, on peut dire que le nombre de passagers qui se présentent au vol suit une distribution binomiale.

Distribution binomiale

La distribution binomiale est un modèle de probabilité utilisé pour compter les succès dans une série d’événements répétés, identiques et indépendants. Le résultat de ces événements doit être binaire (c’est-à-dire 1 ou 0, se présenter ou ne pas se présenter au vol). Ainsi, 304 passagers se présentant au vol peuvent être modélisés à l’aide d’une distribution binomiale d’une série de 304 événements indépendants où la probabilité d’un événement est de 95 %.

Pour qu’un scénario soit qualifié pour une distribution binomiale, il doit satisfaire aux conditions suivantes :

• Résultat binaire : succès (se présente au vol) ou échec (ne se présente pas).
• Événements indépendants : une personne se présentant au vol n’a aucun impact sur les autres passagers.
• Même probabilité de succès : c’est 95% pour tous les passagers.
• Nombre fixe d’événements : Il s’agit du nombre de billets vendus pour ce vol, qui est de 304.

La distribution binomiale nous aide à répondre à la question suivante : si je répète une expérience plusieurs fois, quelle est la probabilité d’obtenir exactement k résultats réussis ?

Probabilité de surréservation

Notre vol sera surréservé si plus de 300 passagers se présentent, nous devons donc calculer la probabilité de k > 300 résultats positifs.

Avec la distribution binomiale, la probabilité d’un nombre k de résultats positifs est :

• n est le nombre total d’événements, soit 304
• k est le nombre de réussites
• p est la probabilité d’un événement réussi, qui est de 0,95.
• (1-p) est la probabilité qu’un événement de défaillance (ne s’affiche pas), qui est de 1 – 0,95 = 0,05.

Cette formule repose sur l’indépendance des événements. Dans la théorie des probabilités, si A et B sont indépendants, la probabilité que les deux événements se produisent est la multiplication de leurs probabilités individuelles :

Pour calculer la probabilité que k=301 passagers se présentent, nous multiplions 301 0,95 et 5 0,05 ensemble. Ensuite, on le multiplie avec le combinateur du début. Il se lit comme suit : « n choisissez k », ce qui compte pour le nombre de façons nous sélectionnons 301 personnes sur 304.

Le dessin suivant permet de comprendre un peu plus facilement la logique derrière la formule de probabilité avec distribution binomiale. Pour simplifier les choses, il illustre la probabilité que 4 passagers se présentent à un vol avec 5 billets vendus :

La première rangée suppose que le passager 5 ne se présente pas, la deuxième rangée suppose que le passager 2 ne se présente pas. Puisque ces événements sont indépendants et identiques, la probabilité de ces événements est la même. Il y a 5 combinaisons de 1 passager qui ne se présente pas (c’est-à-dire que 5 choix, 4 font 5). Par conséquent, la probabilité que 4 passagers se présentent au vol est 5 fois la probabilité qu’un passager ne se présente pas.

Ainsi, la réponse à notre première question (Quelle est la probabilité que ce vol soit surréservé ?) peut être calculée comme P(X > 300) qui est la somme de P(X=301) + P(X=302) + P(X=303) + P(X=304) :

Les nombres au début proviennent de combinaisons :

Nous pouvons sélectionner 301 passagers parmi un groupe de 304 passagers de 4 636 304 manières différentes.

Le résultat final est donc :

La probabilité exacte que le vol soit surréservé est de 0,000139, ce qui correspond à environ 0,014 % (soit environ 1 chance sur 7 200).

Nous avons déterminé la probabilité que ce vol soit surréservé. Comme nous pouvons le voir dans les calculs ci-dessus, le vol est surbooké si 301, 302, 303 ou 304 passagers se présentent (soit 1, 2, 3 ou 4 passagers surbookés). Cela nous amène à la deuxième question : quelle est la valeur attendue du nombre de passagers en surréservation ?

Valeur attendue

Contrairement à ce que son nom l’indique, la valeur attendue n’est pas le résultat auquel on s’attend lors d’un seul essai. La réponse à la question « Combien de passagers prévoyez-vous embarquer sur le vol demain ? » n’est pas la signification de la valeur attendue.

Il s’agit plutôt de la moyenne mathématique « à long terme » d’une variable aléatoire si nous répétons l’expérience encore et encore. Il peut donc s’agir d’un nombre à virgule flottante tel que 302,4 personnes.

Pour calculer la valeur attendue, nous pondérons chaque résultat potentiel par la probabilité qu’il se produise réellement. Il y aura au moins un passager en surréservation si 301, 302, 303 ou 304 passagers se présentent pour le vol. Nous pouvons utiliser les probabilités que nous avons déjà calculées pour ces événements :

Si 301 passagers se présentent, il y a 1 passager en surréservation. Si 302 passagers se présentent, il y a 2 passagers en surréservation, et ainsi de suite. Par conséquent, la valeur attendue du nombre de passagers en surréservation est de 0,000166.

Regardons cela à plus grande échelle. Si la compagnie aérienne exploite cette route spécifique 10 000 fois, elle aura un total de 1,66 passagers en surréservation (sur l’ensemble des 10 000 vols combinés).

Cela nous amène au point où nous discutons de la valeur commerciale réelle, qui est notre troisième question : que risque la compagnie aérienne en vendant plus de billets que de sièges disponibles ?

Des mathématiques pures aux vraies affaires

Attachons quelques chiffres réalistes à notre exemple de 10 000 vols, en supposant un prix moyen du billet de 200 $ :

En vendant 4 billets supplémentaires sur chacun de ces 10 000 vols, la compagnie aérienne génère 40 000 ventes de billets supplémentaires. À 200 $ pièce, cela représente 8 000 000 $ de revenus qui autrement se seraient envolés sous forme de sièges vides.

Sur ces 10 000 vols, nous nous attendons à avoir environ 1,66 passagers en surréservation. En vertu des règles de protection des consommateurs (comme celles du ministère américain des Transports), si une compagnie aérienne vous bouscule involontairement, elle vous doit une indemnisation en espèces pouvant aller jusqu’à 400 % de votre tarif, plafonnée à 2 150 $. Même en tenant compte d’autres dépenses (par exemple les bons d’hôtel), le coût pour la compagnie aérienne sur l’ensemble des 10 000 vols est inférieur à 5 000 dollars.

D’un point de vue strictement financier, risquer 5 000 $ pour obtenir 8 millions de dollars de revenus supplémentaires est très tentant.

Cependant, la vie n’est pas que des mathématiques. Devenir viral en raison d’une confrontation chaotique à la porte peut entraîner une perte de fidélité de plusieurs milliers de dollars. En fonction de la gravité de ces relations publiques virales, les compagnies aériennes peuvent même perdre de leur valeur boursière. Nous pouvons tous convenir que faire descendre les gens des avions est terrible pour les affaires à long terme.

Les compagnies aériennes ont également une solution à ce problème. Ils organisent des « enchères inversées » via leurs applications mobiles ou à la porte d’embarquement. Au lieu d’assigner un ordinateur pour expulser un passager au hasard du vol, ils demandent : « Qui veut prendre le prochain vol pour un bon de 500 $ ? 800 $ ? 1 500 $ ? »

L’avion vole à 100 % de sa capacité, les revenus restent sur le compte bancaire de la compagnie aérienne et personne ne devient viral sur les réseaux sociaux.